TRABAJO DE GEOMETRÍA
EL TRIÁNGULO
Propiedades y tipos de triángulos
Los triángulos se pueden clasificar según sus lados y según sus ángulos.
Según sus lados:
Depende de la longitud de estos, si son iguales, será equilátero, si dos de ellos son iguales y el resto distintos, isósceles, y si los tres son distintos, escaleno.
Según sus ángulos:
Depende de cómo sean estos, si los tres son agudos, será acutángulo, si tiene un lado recto, será rectángulo, y si tiene un lado obtuso, obtusángulo.
Propiedades de los triángulos:
1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos ymayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C =180º
3 El valor de un ángulo exterior de untriángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C
4 En un triángulo a mayor lado se oponemayor ángulo.
5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.
Rectas y puntos notables en el triángulo
Medianas y Baricentro
Se llama mediana a la recta que une un vértice con la mitad del lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto G llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área. Además el Baricentro dista doble del vértice que del punto medio del lado.
Mediatrices y Circuncentro
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro y equidista, es decir, está la misma distancia de los tres vértices A, B y C, es por eso que pertenece a las tres mediatrices. La circunferencia que pasa por los tres vértices se llama Circunferencia Circunscrita.
Alturas y Ortocentro
ALTURAS: se llama altura en un triángulo a la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro. Se puede ver que si trazamos por cada vértice una paralela al lado opuesto se obtiene otro triángulo cuyas mediatrices son justamente las alturas del triángulo primitivo.
Recta de Euler
El baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos tres puntos se llama Recta de Euler.
Bisectrices e Incentro
Se llama bisectriz a la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El punto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo. Dicha circunferencia se llama Circunferencia Inscrita y es la circuferencia más "grande" que se puede definir completamente contenida dentro del triángulo.
El teorema de Pitágoras
Es decir:
La suma del área los cuadrados de los catetos(los cuadrados rojo y azul), es igual al cuadrado de la hipotenusa(el cuadrado blanco)
Otra demostración: http://gaussianos.com/lo-que-se-puede-hacer-con-geogebra-ix-demostracion-visual-del-teorema-de-pitagoras/
El teorema de Pitágoras en 3D
Bien, una aplicación directa de éste teorema al espacio, es para relacionar volúmenes de prismas.
Consideremos el triángulo ABC y los cuadrados construidos sobre sus lados. Digamos que los construidos sobre los catetos tienen áreas a1 y a2 y el construido sobre la hipotenusa tiene áreaa3. Entonces, según el teorema de Pitágoras tenemos:
a1 + a2 = a3
Si consideramos los prismas que tienen como base los cuadrados y el triángulo, sus volúmenes se calculan multiplicando el área de la base por la altura (h). Entonces, los volúmenes de los prismas son:
V1 = a1 · h
V2 = a2 · h
V3 = a3 · h
En términos algebraicos, podemos establecer que, cuando ‘h‘ es distinto de cero, se cumple:
a1+ a2= a3
⇒ h · a1+ h · a2= h · a3
⇒ V1 + V2 = V3
Esta es una conclusión algebraica, pero quiere decir que, el volúmen del prisma que contiene la hipotenusa, es igual a la suma de los volúmenes de los prismas que contienen los catetos del triángulo ABC.
El teorema de Tales
Si dos rectas cuales quiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Ejemplos
1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
Teorema de Thales en un triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Ejemplo:
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
LUGARES GEOMÉTRICOS
¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
La mediatriz y la bisectriz
Mediatriz:
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.
Bisectriz:
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo.
Las cónicas
¿Qué es una cónica?
Superficie cónica de revolución es una superficie generada por una recta (generatriz) al girar alrededor de otra recta (eje), con la que se corta en un punto V (vértice).
La elipse
Método del jardinero
Es un método para dibujar elipses.
Primero deben dibujarse perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo y situar el eje Y en la dirección N-S, y el eje X en la dirección E-O.
Luego hemos de señalar los dos focos que están en el eje X a ambos lados del centro a una distancia c , es decir, en los puntos (c,0) y (-c, 0). Después, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujar la elipse tal como se ve en la figura.
Mesa de billar elíptica
http://www.antena3.com/programas/el-hormiguero/momentos/billar-infalible_20111006571f11aa4beb287a291b6d8b.html#
La hipérbola
La lámpara hiperbólica
La parábola
La antena parabólica
El horno solar
El espejo parabólico
El observador está detrás del centro de curvatura. La imagen es real, invertida y más pequeña que él
Cuando el observador se encuentra justo en el centro de curvatura, ve su imagen a tamaño real pero invertida.
Cuando el observador se sitúa entre el centro de curvatura y el foco, su imagen, real e invertida, es de mayor tamaño que él y seguirá agrandándose hasta que el observador se sitúe en el foco. En el foco los rayos no convergen, siguen paralelos hasta distancia infinita; el observador verá una imagen borrosa e irreconocible que llena la totalidad del espejo.
La imagen pasa a ser virtual y aparece derecha y aumentada cuando el observador se acerca al espejo.
Espejos convexos
Siguiendo una construcción similar a los espejos cóncavos, observaremos que en un espejo convexo la imagen es siempre virtual, derecha y más pequeña que el objeto, independientemente de la posición en que lo situemos.
Este tipo de espejos se suelen utilizar en los retrovisores de coches y motos, debido a que proporcionan un mayor campo de visión, aunque debemos tener en cuenta que nuestro cerebro interpreta que los objetos están más alejados de lo que realmente están.
También se colocan grandes espejos convexos en las esquinas de algunos cruces de poca visibilidad o en algunas tiendas para observar a los ladrones.
MOVIMIENTOS DEL PLANO
Las traslaciones. ¿Qué es un vector?
Un vector es un segmento de recta, contado a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.
Ejercicios de vectores y traslación
Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar:
a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas
b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo
c) las componentes de los vectores anteriores
vx;vy=(-1,4)
ux;uy=(4,3)
Una cenefa es un elemento decorativo largo y estrecho que se coloca en una pared rodeando su perímetro o como marco de otros elementos decorativos.
d) el módulo de cada uno de los vectores
v= 3´872
u=5
Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):
v= 3´872
u=5
Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):
Frisos, mosaicos y cenefas
Un friso, palabra proveniente del Latín frisium,1 sirve en arquitectura para denominar a la parte ancha de la sección central de un entablamento, que puede ser lisa o estar decorada con bajorrelieves.
Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso u otro aglomerante para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas.
MC. Escher
Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher, fue un artista neerlandés conocido por sus grabados xilográficos, sus grabados al mezzotinto y sus dibujos, que consisten en figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.LA ESFERA Y EL GLOBO TERRÁQUEO
Elementos principales de la esfera.
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
Elementos de la esfera terrestre.
Como bien sabemos actualmente, la Tierra es una esfera que gira alrededor de un eje imaginario. Este eje de rotación define sobre la superficie terrestre dos puntos llamados Polo Sur y Polo Norte.La circunferencia que divide o corta a la esfera terrestre en dos mitades ohemisferios se llama Ecuador
